Le modèle de croissance de Richardson a été introduit par Richardson en 1973. C'est un système de particules en interaction, qui peut par exemple modéliser la propagation d'une maladie. On s'intéresse à ce modèle sur le graphe $(\Z^d,\E^d)$, où $\E^d$ est l'ensemble des arêtes orientées entre plus proches voisins de $\Z^d$. Au temps $t=0$, l'origine est considérée comme un site infecté, tous les autres sommets sont considérés comme des sites sains. Ensuite, à chaque instant $t>0$, chaque site infecté $x$ infecte un voisin sain $y$ au bout d'un temps exponentiel $T_{(x,y)}$ de paramètre $\lambda>0$, indépendamment des autres sites.

Dans cet exposé, je parlerai du modèle de croissance de Richardson avec mélange, qui correspond au modèle de croissance de Richardson pour lequel on permet à chaque site infecté $x$ d'échanger son état d'infection avec un site voisin $y$, à chaque saut d'un processus de Poisson $\mathcal{P}_{(x,y)}$ de paramètre $\mu>0$, indépendamment des autres sites et des infections. Cela modélise les déplacements des personnes infectées. Je présenterai un théorème de forme asymptotique, démontré par Richardson en 1973 pour le modèle sans mélange, que nous avons démontré pour le modèle avec mélange avec mes encadrantes de thèse cette année. Il concerne la forme de l'ensemble des sites qui ont déjà été infectés au moins une fois au temps $t$, lorsque $t\to +\infty$.